haku: @supervisor Gripenberg, Gustaf / yhteensä: 7
viite: 7 / 7
« edellinen | seuraava »
| Tekijä: | Parviainen, Mikko |
| Työn nimi: | Wavelet methods for conservation laws |
| Wavelet-menetelmiä säilymislakidifferentiaaliyhtälöille | |
| Julkaisutyyppi: | Diplomityö |
| Julkaisuvuosi: | 2003 |
| Sivut: | 76 Kieli: eng |
| Koulu/Laitos/Osasto: | Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto |
| Oppiaine: | Matematiikka (Mat-1) |
| Valvoja: | Gripenberg, Gustaf |
| Ohjaaja: | |
| OEVS: | Sähköinen arkistokappale on luettavissa Aalto Thesis Databasen kautta.
Ohje Digitaalisten opinnäytteiden lukeminen Aalto-yliopiston Harald Herlin -oppimiskeskuksen suljetussa verkossaOppimiskeskuksen suljetussa verkossa voi lukea sellaisia digitaalisia ja digitoituja opinnäytteitä, joille ei ole saatu julkaisulupaa avoimessa verkossa. Oppimiskeskuksen yhteystiedot ja aukioloajat: https://learningcentre.aalto.fi/fi/harald-herlin-oppimiskeskus/ Opinnäytteitä voi lukea Oppimiskeskuksen asiakaskoneilla, joita löytyy kaikista kerroksista.
Kirjautuminen asiakaskoneille
Opinnäytteen avaaminen
Opinnäytteen lukeminen
Opinnäytteen tulostus
|
| Sijainti: | P1 Ark TF80 | Arkisto |
| Avainsanat: | nonlinear hyperbolic problems conservation laws entropy convergence discontinuous Galerkin methods Godunov's scheme wavelets multiwavelets damping oscillations Burgers' equation epälineaarinen hyperbolinen yhtälö säilymislait entropia suppeneminen epäjatkuva Galerkin menetelmä Godunovin menetelmä wavelet multiwavelet heilahtelujen vaimentaminen Burgersin yhtälö |
| Tiivistelmä (fin): | Työssä tarkastellaan sekä analyyttisesti että numeerisesti hyperbolisia epälineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, jotka ovat muotoa u(x, t)t + f(u(x, t))x = 0, missä u on ratkaistava funktio ja f jokin sileä sekä mahdollisesti epälineaarinen funktio. Kyseisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin päädytään, kun tarkastellaan tilannetta, jossa vaikuttaa jokin säilymislaki. Esimerkiksi kaasuvirtauksen ratkaiseminen massan säilymislakia soveltaen johtaa kyseisen tyyppisiin yhtälöihin. Epälineaarisuudesta johtuen differentiaaliyhtälöllä ei välttämättä ole klassisia ratkaisuja, ja ratkaisut tulkitaankin heikossa mielessä. Heikko ratkaisu ei kuitenkaan usein ole yksikäsitteinen, joten yksikäsitteisyyden takaamiseksi joudutaan asettamaan entropiaehtoja. Usein käytetään Kruzkovin entropiaehtoa, jolle todistetaan ratkaisun yksikäsitteisyys ja todetaan olemassaolo. Tulokset ovat tunnettuja, mutta yksikäsitteisyyslauseen muotoilua ja alkuoletuksia on muutettu tavanomaisesta. Numeerisista menetelmistä käsitellään epäjatkuvia Galerkin menetelmiä, joista yksinkertaisimpana voidaan pitää Godunovin menetelmää. Jotta numeerinen menetelmä suppenisi oikeaan heikkoon ratkaisuun, joudutaan menetelmälle asettamaan ylimääräisiä ehtoja. Laxin ja Wendroffin lause, jossa todetaan ehdot, joilla saavutettu numeerinen ratkaisu on oikea, todistetaan hieman lähdettä [26] yleisemmillä oletuksilla. Myös stabiilisuustuloksia käsitellään. Epäjatkuvassa Galerkin menetelmässä voidaan käyttää kantafunktioina ortonormaalista multiresoluutiosta saatavia wavelet- ja skaalausfunktioita. Tästä on se hyöty, että ratkaisu voidaan jakaa tehokkaasti korkea- ja matalataajuisiin komponentteihin, joita tutkimalla laskentateho voidaan kohdistaa oikeaan paikkaan ja suunnitella adaptiivisia menetelmiä. Lisaksi waveleteille on olemassa pyramidialgoritmeja, joita käyttäen eri tarkkuustason ratkaisut voidaan laskea tehokkaasti. Erityisen hyödyllisiltä vaikuttavat multiwaveletit, joiden vahvuus on niiden yksinkertaisuudessa. Työssä esitetään yleistys aikaisemmin julkaistusta matala-asteisia waveleteja soveltavasta adaptiivisesta menetelmästä korkeamman kertaluvun waveletien tapaukseen. Lopuksi ehdotetaan uutta tapaa, jolla korkea-asteisiin menetelmiin syntyviä heilahteluja pystytään mahdollisesti vaimentamaan. Käsitellyistä menetelmistä esitetään numeerisia esimerkkejä Burgersin yhtälön ut + uux = 0 tapauksessa. Lukijalta edellytetään reaalianalyysin ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teorian peruskäsitteiden tuntemista. Esityksen seuraaminen ei välttämättä vaadi muiden lähteiden käyttöä. |
| Tiivistelmä (eng): | In this thesis hyperbolic partial differential equations arising from conservation laws are studied both numerically and analytically. The differential equations are of the form u(x, t)t + f(u{x, t))x = 0, where u is a function to be solved and f is a smooth possibly nonlinear function. For example, solving a gas flow when mass is conserved leads to the partial differential equations of this type. Due to nonlinearity the conservation law may not have a classical solution, and therefore weak solutions are formulated. To guarantee the uniqueness of the weak solutions additional entropy conditions, like Kruzkov's entropy condition, are needed. We prove the uniqueness of the solution satisfying Kruzkov's entropy condition and formulate the existence result. The formulation of the uniqueness result differs from the usual formulation given in the literature. In the numerical part, we study the discontinuous Galerkin methods, like for example Godunov's scheme, which is the simplest of such methods. To guarantee the convergence of the numerical method to the right solution, some extra conditions must be required. The Lax-Wendroff theorem, which states when the obtained numerical solution is the right one, is proved with more general conditions than in [26]. Also stability results are considered. Wavelets and scaling functions obtained from the orthonormal multiresolution can be applied to the discontinuous Galerkin method. Then the numerical solution can be efficiently divided into high and low frequency parts. By controlling the high frequency part, we can develop adaptive methods and aim the computational power to the right places. In addition, pyramid algorithms can be used to obtain different refinement levels of the numerical solution efficiently. Especially multiwavelets seem to be attractive for the numerical solvers due to their simplicity. At the end of the thesis, we suggest a high order generalization for the known low order adaptive wavelet method. Also a new possibility for damping spurious oscillations in high order solutions is suggested. Numerical experiments are performed for the introduced methods in the case of Burgers' equation ut + uux = 0. The reader is expected to have basic knowledge of real analysis and of the theory of partial differential equations. The presentation is mainly self-contained. |
| ED: | 2004-01-14 |
INSSI tietueen numero: 21096
+ lisää koriin
« edellinen | seuraava »
INSSI