haku: @author Tuominen, Tomi / yhteensä: 3
viite: 2 / 3
| Tekijä: | Tuominen, Tomi |
| Työn nimi: | Kuoriyhtälöiden adaptiivisesta ratkaisemisesta |
| On Adaptive Solving of The Shell Equations | |
| Julkaisutyyppi: | Diplomityö |
| Julkaisuvuosi: | 2004 |
| Sivut: | 66 Kieli: fin |
| Koulu/Laitos/Osasto: | Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto |
| Oppiaine: | Matematiikka (Mat-1) |
| Valvoja: | Pitkäranta, Juhani |
| Ohjaaja: | Hakula, Harri |
| OEVS: | Sähköinen arkistokappale on luettavissa Aalto Thesis Databasen kautta.
Ohje Digitaalisten opinnäytteiden lukeminen Aalto-yliopiston Harald Herlin -oppimiskeskuksen suljetussa verkossaOppimiskeskuksen suljetussa verkossa voi lukea sellaisia digitaalisia ja digitoituja opinnäytteitä, joille ei ole saatu julkaisulupaa avoimessa verkossa. Oppimiskeskuksen yhteystiedot ja aukioloajat: https://learningcentre.aalto.fi/fi/harald-herlin-oppimiskeskus/ Opinnäytteitä voi lukea Oppimiskeskuksen asiakaskoneilla, joita löytyy kaikista kerroksista.
Kirjautuminen asiakaskoneille
Opinnäytteen avaaminen
Opinnäytteen lukeminen
Opinnäytteen tulostus
|
| Sijainti: | P1 Ark TF80 | Arkisto |
| Avainsanat: | adaptivity error estimator extra internal modes adaptiivisuus virheindikaattori lisäkuplat |
| Tiivistelmä (fin): | Tässä diplomityössä tarkastellaan ohuita kuorirakenteita koskevien yhtälöiden numeerista ratkaisemista. Erityisesti ollaan kiinnostuneita adaptiivisesta ratkaisemisesta, joka perustuu virhettä approksimoiviin virheindikaattoreihin. Tarkasteltavina kuorina ovat pyörähdyssymmetriset kuoret. joiden suhteellinen paksuus on noin yksi prosentti pyörähdyssäteestä. Kuoren käyttäytymistä kuormitettuna mallinnetaan Reissner-Naghdi -yhtälöillä, joiden ratkaisua approksimoidaan elementtimenetelmällä. Työhön liittyen on kirjoitettu elementtiratkaisija MATHEMATICA-ohjelmalla. Virheindikaattorit ovat adaptiivisen ratkaisumenetelmän kulmakivi, sillä niiden pohjalta päätellään ratkaisun virhejakauma ja tihennetään esimerkiksi elementtiverkkoa. Yhtälöt ratkaistaan aluksi kohtuullisen pienellä vapausasteiden määrällä ja tämän harvan ratkaisun avulla lasketaan virheindikaattorit, tarkennetaan diskretointia ja lasketaan uusi ratkaisu. Näin tehtävän diskretointia mukautetaan mahdollisimman optimaaliseksi juuri tarkasteltavan ongelman kannalta. Virheindikaattoreiden perustana käytetään tässä ns. lisäkuplia, eli kantafunktiosysteemiin lisätään kuplapolynomeja, joille ratkaistaan kertoimet elementtikohtaisista yhtälöistä edellisen vaiheen ratkaisun avulla. Lisäkuplien oletetaan approksimoivan todellista virhettä. sillä lisäkuplilla rikastetulla kannalla oletetaan saatavan yhä tarkempi ratkaisu, kun kuplien astelukua kasvatetaan. Virheindikaattoreina käytetään tässä kokonais- ja leikkausenergialla mitattuja kuplapolynomeja. Lisäksi leikkausenergiaa tarkastellaan sen x- ja y-komponenttien avulla, mistä virheindikaattorille saadaan suuntaa ilmoittava ominaisuus. Tämän ominaisuuden perusteella voidaan mahdollisesti päätellä, missä suunnassa elementtiverkkoa kannattaa tihentää. Työssä on käytetty pyörähdyssuunnassa jaksollista kuormaa, jolloin yhtälöt voidaan redusoida yksiulotteisiksi ja tarkalle ratkaisulle on mahdollista laskea hyvin tarkka numeerinen edustaja. Tällöin päästään vertaamaan todellista virhettä ja virheindikaattorin ilmoittamaa virhettä keskenään. Tulosten perusteella eri energioilla mitattuna indikaattorin ilmoittama virhe on helposti yli puolet todellisesta virheestä riippuen kuplafunktioiden määrästä. Osoittautuu että lisäkuplien asteluvuksi riittää noin 3-4 korkeampi kuin perusratkaisun asteluku. Tällöin adaptiivisen ratkaisemisen kannalta saadaan riittävän hyvä kuva virheestä, sillä indikaattorit approksimoivat hyvin erityisesti virheen jakauman muotoa. Leikkausenergian osuus on yleensä häviävän pieni ratkaisun kokonaisenergiasta. Ratkaisun virheestä leikkausenergialla on kuitenkin merkittävä osuus. Osoittautuu myös että leikkausenergiaan perustuvat virheindikaattorit approksimoivat virhettä jopa hieman paremmin kuin kokonaisenergiassa mitattuna. Työssä on tarkasteltu myös ratkaisun riippuvuutta kuoren geometriasta, kun kuormana on pistekuorma. Tarkasteltavina kuorina ovat sylinteri sekä hyperbolinen ja elliptinen kuori. Tässä tapauksessa virheindikaattorin toimintaa dominoi kuorman lähelle keskittynyt virhe, ja kauempana kuormasta olevat geometriaan liittyvät ilmiöt eivät näytä vaikuttavan merkittävästi kokonaisvirheeseen. |
| Tiivistelmä (eng): | In this thesis solving of thin shell equations is considered. Especially adaptive solving methods and error estimators are in focus. Shells are defined here through surfaces of revolution and their relative thickness is about one percent of the revolution radius. Behaviour of a shell under a specific load is modelled by Reissner-Naghdi equations. Solutions for these equations are approximated by the finite element method and a finite element solver is created using the MATHEMA TICA system. Adaptive methods are based on error estimators, which are used to estimate real error distribution and to refine the element grid for example. The equations are solved with reasonable amount of degrees of freedom first. Based on this crude solution error estimators are calculated, the discretization is reset and a new solution is calculated. This way the discretization is adapted according to the problem in hand. Error estimators are based here on extra internal modes. Internal polynomials are added to the original basis, and coefficients for those extra polynomials are solved from element-specific equations with aid of the original solution. These extra polynomials are assumed to approximate the real error, because with the enriched basis it is usually possible to get better approximation to the problem. Error estimators here are attained by measuring the extra polynomials by total and shear energy. The shear energy is also divided to its x-and y-components to express direction. With this information it may be possible to direct the element grid more optimally. In this work the load is periodic in the direction of revolution, in which case the shell equations can be reduced to one dimension and it is quite easy to get almost exact numerical solution to the problem. In this case the real error and error estimators can be compared to get more information about functionality of estimators. According to the results error estimators give easily over half of the real error depending on the degree of the internal polynomials. It is also found that for extra polynomials it is enough to have degree of3 to 4 more than used in the first solution. Then estimators give a relatively good picture of the error to be used in an adaptive algorithm, because especially the error distribution is well approximated. The Shear energy is usually negligible compared to the total energy of the solution. However the shear energy has significant portion of the total error. Results show also that shear energy estimators give even more reliable approximation of the error than total energy estimators. Dependence of the solution on shell geometry is also studied when the shell is loaded with a point load. Shells in focus are a cylinder and both hyperbolic and elliptic shells. In the case of point load the behaviour of the estimator is dominated by error concentrated near the load and phenomena further related to the shell type do not have significant effect on the total error. |
| ED: | 2004-12-01 |
INSSI tietueen numero: 26537
+ lisää koriin
INSSI