haku: @keyword Heisenberg group / yhteensä: 4
viite: 1 / 4
« edellinen | seuraava »
| Tekijä: | Helenius, Tomi Teemu |
| Työn nimi: | Rumin-kompleksi ja Maxwellin yhtälöt Heisenbergin ryhmässä |
| Rumin-complex and Maxwell's equations in the Heisenberg group | |
| Julkaisutyyppi: | Diplomityö |
| Julkaisuvuosi: | 2015 |
| Sivut: | 40 + 6 Kieli: fin |
| Koulu/Laitos/Osasto: | Perustieteiden korkeakoulu |
| Oppiaine: | Matematiikka (F3006) |
| Valvoja: | Peltonen, Kirsi |
| Ohjaaja: | Peltonen, Kirsi |
| Elektroninen julkaisu: | http://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-201511205198 |
| Sijainti: | P1 Ark Aalto 3263 | Arkisto |
| Avainsanat: | Heisenberg group Rumin-complex Maxwell equations contact structure gradient curl divergence Heisenbergin ryhmä Rumin-kompleksi Maxwellin yhtälöt gradientti roottori divergenssi |
| Tiivistelmä (fin): | Tässä työssä esitellään Heisenbergin ryhmän differentiaalimuotojen avaruuden ominaisuuksia, konstruoidaan yksityiskohtaisesti sen aliavaruuteen sopivalla differentiaalikuvauksella varustettu Rumin-kompleksi sekä luodaan konkretiaa kompleksin toimintaan vetämällä yhteyksiä Euklidisen avaruuden differentiaaligeometriaan. Rumin-kompleksi liittyy Heisenbergin ryhmän kontraktirakenteen vektorikenttiin vastaavasti, kuin de Rham -kompleksi kolmiulotteisiin Euklidisiin vektorikenttiin, mikä mahdollistaa gradientin, roottorin ja divergenssin määrittelemisen horisontaalisille vektoreille. Tällaisen vektorianalyysin yleistyminen Heisenbergin ryhmälle puolestaan mahdollistaa Maxwellin yhtälöiden kirjoittamisen Heisenbergin ryhmän horisontaalisille sähkö- ja magneettikentille. Tätä varten muodostetaan reaalisesta aikaulottuvuudesta ja Heisenbergin ryhmästä muodostuva aika-avaruusryhmä, jonka Rumin-kompleksi riippuu Heisenbergin ryhmän Rumin-kompleksista suhteellisen yksinkertaisella tavalla. Maxwellin yhtälöiden formulaatio aika-avaruusryhmän differentiaalimuodoilla toimii muodollisesti samalla tavalla kuin Euklidisista differentiaalimuodoista rakentuvassa pseudo-Riemannin aika-avaruudessa, mutta se osoittautuu ominaisuuksiltaan erilaiseksi. Heisenbergin ryhmän sähkö- ja magneettikentät ovat nimittäin kaksiulotteisia, horisontaalinen roottori on muodoltaan hyvin epätriviaali toisen asteen operaatio, sekä Lorentz-muunnokset eivät sekoita aikaa ja avaruutta keskenään. |
| Tiivistelmä (eng): | In this thesis we present some key properties of the space of differential forms in the Heisenberg group, construct in detail the Rumin-complex as its subspace with a suitable differential map, as well as establish some concrete connections to the differential geometry of the Euclidean space. The Rumin-complex connects to the vector fields of the contact structure in the Heisenberg group analogously to how the de Rham complex connects to the three-dimensional Euclidean vector fields. This in turn enables us to define the gradient, curl and divergence operations for the horizontal vectors, which leads to the possibility of writing the Maxwell equations for the horizontal analogues of electric and magnetic fields. For this we construct from a real time dimension and a Heisenberg group a spacetime group whose Rumin-complex will depend on the Rumin-complex of the Heisenberg group in a relatively simple manner. The formulation of the Maxwell's equations in the spacetime group works formally in the same way as in the Euclidean-based pseudo-Riemannian spacetime but its physical properties turn out to differ. For example the electric and magnetic fields are two-dimensional, the horizontal curl operator is of second order and rather non-trivial in its explicit form, and the Lorentz-transformations do not mix space and time. |
| ED: | 2015-11-29 |
INSSI tietueen numero: 52538
+ lisää koriin
« edellinen | seuraava »
INSSI