haku: @supervisor Kinnunen, Juha / yhteensä: 61
viite: 10 / 61
| Tekijä: | Tajakka, Tuomas |
| Työn nimi: | Cohomology of the Grassmannian |
| Grassmannin avaruuden kohomologia | |
| Julkaisutyyppi: | Diplomityö |
| Julkaisuvuosi: | 2015 |
| Sivut: | vi + 57 Kieli: eng |
| Koulu/Laitos/Osasto: | Perustieteiden korkeakoulu |
| Oppiaine: | Matematiikka (Mat-1) |
| Valvoja: | Kinnunen, Juha |
| Ohjaaja: | Freij, Ragnar |
| Elektroninen julkaisu: | http://urn.fi/URN:NBN:fi:aalto-201506303494 |
| Sijainti: | P1 Ark Aalto 2896 | Arkisto |
| Avainsanat: | complex vector bundle Grassmannian cohomology Chern class Thom isomorphism komleksinen vektorikimppu Grassmannin avaruus kohomologia Chernin luokka Thomin isomorfismi |
| Tiivistelmä (fin): | Vektorikimput ovat geometrisia objekteja, jotka voidaan rakentaa kiinnittämällä euklidinen avaruus jonkin topologisen avaruuden, pohja-avaruuden, jokaiseen pisteeseen jatkuvalla tavalla. Vektorikimput ovat keskeisiä monilla geometrian ja analyysin alueilla, ja kenties tärkein esimerkki vektorikimpusta on sileän moniston tangenttikimppu. Tässä työssä keskitytään kompleksisiin vektorikimppuihin, jotka saadaan määrittelemällä kompleksinen rakenne annetun vektorikimpun säikeissä. Kaksi keskeistä työkalua vektorikimppujen tutkimuksessa ovat karakteristiset luokat ja Grassmannin avaruutena tunnettu luokitteluavaruus. Karakteristinen luokka on sääntö, joka liittää jokaiseen vektorikimppuun pohja-avaruuden kohomologialuokan luonnollisella tavalla. Kompleksisten vektorikimppujen pääasiallisia karakteristisia luokkia kutsutaan Chernin luokiksi. Grassmannin avaruus puolestaan on ääretönulotteisen kompleksisen vektoriavaruuden C-ääretön tiettyä dimensiota olevien aliavaruuksien joukko. Grassmannin avaruuteen liitetään myös niin kutsuttu tautologinen vektorikimppu. Tässä työssä määritellään kompleksiset vektorikimput ja Grassmannin avaruuden äärellinen ja ääretön versio sekä kuvataan tapa, jolla ääretön Grassmannin avaruus voidaan ymmärtää luokitteluavaruutena. Tämän jälkeen todistetaan vektorikimppujen kohomologiaryhmiä koskeva Thomin isomorfismilause, ja käytetään kyseistä tulosta Chernin luokkien määrittelemiseen. Lopuksi näytetään, että Grassmannin avaruuden kokonaislukukertoiminen kohomologiarengas on tautologisen kimpun Chernin luokkien virittämä polynomirengas. |
| Tiivistelmä (eng): | Vector bundles are geometric objects obtained by attaching a real vector space to each point of a given topological space, called the base space, such that these spaces vary continuously. Vector bundles arise in many areas of geometry and analysis, the most notable example being perhaps the tangent bundle of a smooth manifold. In this work we will focus on the special class of complex vector bundles, which are obtained by imposing a complex structure on the real vector spaces in a given bundle. Two central tools in the study of vector bundles are characteristic classes and a classifying space called the Grassmannian. Characteristic classes are natural associations of cohomology classes of the base space to each vector bundle. The main characteristic classes of complex vector bundles are called Chern classes, and they are even-dimensional integral cohomology classes. The Grassmannian, on the other hand, is constructed as the set of subspaces of a fixed dimension of the infinite-dimensional complex vector space C-infinity, and it comes equipped with a tautological vector bundle. In this work we define complex vector bundles and finite and infinite versions of the Grassmannian, and discuss the classifying space nature of the infinite Grassmannian. Then we prove the Thom isomorphism theorem concerning cohomology groups of vector bundles, and use the result to define Chern classes. Finally, we show that the integral cohomology ring of the Grassmannian is a polynomial ring generated by the Chern classes of the tautological bundle. |
| ED: | 2015-08-16 |
INSSI tietueen numero: 51903
+ lisää koriin
INSSI