search query: @keyword Lp-avaruus / total: 1
results-list
reference: 1 / 1
« previous | next »
Author:Ropponen, Jonatan
Title:Diskreetin maksimaalifunktion perusominaisuudet
Basic Properties of the Discrete Maximal Function
Publication type:Master's thesis
Publication year:2011
Pages:41      Language:   fin
Department/School:Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Main subject:Matematiikka   (Mat-1)
Supervisor:Kinnunen, Juha
Instructor:Kinnunen, Juha
OEVS:
Electronic archive copy is available via Aalto Thesis Database.
Instructions
close

Reading digital theses in the closed network of the Aalto University Harald Herlin Learning Centre

In the closed network of Learning Centre you can read digital and digitized theses not available in the open network.

The Learning Centre contact details and opening hours: https://learningcentre.aalto.fi/en/harald-herlin-learning-centre/

You can read theses on the Learning Centre customer computers, which are available on all floors.

Logging on to the customer computers

  • Aalto University staff members log on to the customer computer using the Aalto username and password.
  • Other customers log on using a shared username and password.

Opening a thesis

  • On the desktop of the customer computers, you will find an icon titled:

    Aalto Thesis Database

  • Click on the icon to search for and open the thesis you are looking for from Aaltodoc database. You can find the thesis file by clicking the link on the OEV or OEVS field.

Reading the thesis

  • You can either print the thesis or read it on the customer computer screen.
  • You cannot save the thesis file on a flash drive or email it.
  • You cannot copy text or images from the file.
  • You cannot edit the file.

Printing the thesis

  • You can print the thesis for your personal study or research use.
  • Aalto University students and staff members may print black-and-white prints on the PrintingPoint devices when using the computer with personal Aalto username and password. Color printing is possible using the printer u90203-psc3, which is located near the customer service. Color printing is subject to a charge to Aalto University students and staff members.
  • Other customers can use the printer u90203-psc3. All printing is subject to a charge to non-University members.
Location:P1 Ark Aalto  37   | Archive
Keywords:Hardy-Littlewood maximal function
discrete maximal function
discrete convolution
partition of unity
metric space
doubling measure
Lp-space
Hölder continuity
Whitney covering theorem
Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio
diskreetti maksimaalifunktio
diskreetti konvoluutio
ykkösen ositus
metrinen avaruus
tuplaava mitta
Lp-avaruus
Hölder-jatkuvuus
Whitneyn peitelause
Abstract (eng): The Hardy-Littlewood maximal function is one of the most essential operators in real analysis and harmonic analysis but is not always sufficiently regular.
The Hardy-Littlewood maximal function maps the functions of Lp-space into Lp-space but does not retain the continuity or Hölder continuity of functions, for instance.
It would be beneficial to define a maximal function that is of the same magnitude as the Hardy-Littlewood maximal function and has the desired regularity properties.
For this purpose, in this master's thesis we define the discrete maximal function, which also retains continuity and Hölder continuity.

The discrete maximal function can be used in relatively general metric spaces.
For the purposes of this work, the most important assumption of the examined metric space is that the used measure is doubling.
Then the measures of spheres with the same center are proportional to each other.
The measure being doubling enables the use of numerous tools for the analysis of metric spaces but is not too demanding as an assumption, since there are plenty of suitable spaces.

The discrete convolution is used in defining the discrete maximal function.
Similarly, the Hardy-Littlewood maximal function can be defined in real spaces with the ordinary convolution, but the ordinary convolution is not defined in general metric spaces.

Of the properties of the discrete maximal function, we examine in particular Lp-properties and Hölder continuity.
The determined properties are compared to the properties of the Hardy-Littlewood maximal function.
We also show that the discrete maximal function is of the same magnitude as the Hardy- Littlewood maximal function.
The methods used in the work include in particular results derived from the doubling measure and essential covering theorems, such as the Vitali and Whitney covering theorems.

In this work, we examine the discrete maximal function in both the global and local case.
We then notice that many of the properties are relatively similar in both cases.
Therefore, the discrete maximal function can be limited to a subset of the examined space without losing important properties.
Abstract (fin): Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio on yksi reaalianalyysin ja harmonisen analyysin kerkeimmistä operaattoreista mutta ei aina ole riittävän saannollinen.
Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio kuvaa Lp-avaruuden funktiot Lp-avaruudelle mutta ei säilytä esimerkiksi funktion jatkuvuutta eikä Holder-jatkuvuutta.
Olisi hyödyllistä määritellä maksimaalifunktio, joka on samaa suuruusluokkaa kuin Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio ja jolla on toivotut säännöllisyysominaisuudet.
Kyseistä tarkoitusta varten tässä diplomityössä määritellään diskreetti maksimaalifunktio, joka säilyttää myös jatkuvuuden ja Holder-jatkuvuuden.

Diskreettiä maksimaalifunktiota voidaan käyttää melko yleisissä metrisissä avaruuksissa.
Työn kannalta keskeisin oletus tutkittavasta metrisestä avaruudesta on, että käytettävä mitta on tuplaava.
Tällöin samankeskisten pallojen mitat ovat verrannollisia toisiinsa nähden.
Mitan tuplaavuus mahdollistaa lukuisten työkalujen käytön metristen avaruuksien analyysissa mutta ei ole oletuksena liian vaativa, silla sopivia avaruuksia on runsaasti.

Diskreetin maksimaalifunktion määrittelyssä käytetään diskreettiä konvoluutiota.
Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktio voidaan vastaavasti määritellä reaalisissa avaruuksissa tavallisen konvoluution avulla, mutta tavallista konvoluutiota ei ole määritelty yleisissä metrisissä avaruuksissa.

Diskreetin maksimaalifunktion ominaisuuksista tutkitaan erityisesti Lp-ominaisuuksia sekä Holder-jatkuvuutta, ja määritettyjä ominaisuuksia verrataan Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktion ominaisuuksiin.
Lisäksi näytetään, että diskreetti maksimaalifunktio on samaa suuruusluokkaa kuin Hardy- Littlewoodin maksimaalifunktio.
Työn menetelminä käytetään erityisesti mitan tuplaavuuteen pohjautuvia tuloksia ja keskeisiä peitelauseita, kuten Vitalin ja Whitneyn peitelauseita.

Työssä tarkastellaan diskreettiä maksimaalifunktiota sekä globaalissa että lokaalissa tapauksessa.
Talloin havaitaan, että monet ominaisuuksista ovat melko samanlaisia kummassakin.
Diskreetti maksimaalifunktio voidaan siis rajoittaa avaruuden osajoukkoon ilman, että keskeisiä ominaisuuksia menetetään.
ED:2011-09-26
INSSI record number: 42809
+ add basket
« previous | next »
INSSI