search query: @author Tuominen, Tomi / total: 3
results-list
reference: 2 / 3
« previous | next »
Author:Tuominen, Tomi
Title:Kuoriyhtälöiden adaptiivisesta ratkaisemisesta
On Adaptive Solving of The Shell Equations
Publication type:Master's thesis
Publication year:2004
Pages:66      Language:   fin
Department/School:Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto
Main subject:Matematiikka   (Mat-1)
Supervisor:Pitkäranta, Juhani
Instructor:Hakula, Harri
OEVS:
Electronic archive copy is available via Aalto Thesis Database.
Instructions
close

Reading digital theses in the closed network of the Aalto University Harald Herlin Learning Centre

In the closed network of Learning Centre you can read digital and digitized theses not available in the open network.

The Learning Centre contact details and opening hours: https://learningcentre.aalto.fi/en/harald-herlin-learning-centre/

You can read theses on the Learning Centre customer computers, which are available on all floors.

Logging on to the customer computers

  • Aalto University staff members log on to the customer computer using the Aalto username and password.
  • Other customers log on using a shared username and password.

Opening a thesis

  • On the desktop of the customer computers, you will find an icon titled:

    Aalto Thesis Database

  • Click on the icon to search for and open the thesis you are looking for from Aaltodoc database. You can find the thesis file by clicking the link on the OEV or OEVS field.

Reading the thesis

  • You can either print the thesis or read it on the customer computer screen.
  • You cannot save the thesis file on a flash drive or email it.
  • You cannot copy text or images from the file.
  • You cannot edit the file.

Printing the thesis

  • You can print the thesis for your personal study or research use.
  • Aalto University students and staff members may print black-and-white prints on the PrintingPoint devices when using the computer with personal Aalto username and password. Color printing is possible using the printer u90203-psc3, which is located near the customer service. Color printing is subject to a charge to Aalto University students and staff members.
  • Other customers can use the printer u90203-psc3. All printing is subject to a charge to non-University members.
Location:P1 Ark TF80     | Archive
Keywords:adaptivity
error estimator
extra internal modes
adaptiivisuus
virheindikaattori
lisäkuplat
Abstract (eng): In this thesis solving of thin shell equations is considered.
Especially adaptive solving methods and error estimators are in focus.
Shells are defined here through surfaces of revolution and their relative thickness is about one percent of the revolution radius.
Behaviour of a shell under a specific load is modelled by Reissner-Naghdi equations.
Solutions for these equations are approximated by the finite element method and a finite element solver is created using the MATHEMA TICA system.

Adaptive methods are based on error estimators, which are used to estimate real error distribution and to refine the element grid for example.
The equations are solved with reasonable amount of degrees of freedom first.
Based on this crude solution error estimators are calculated, the discretization is reset and a new solution is calculated.
This way the discretization is adapted according to the problem in hand.
Error estimators are based here on extra internal modes.
Internal polynomials are added to the original basis, and coefficients for those extra polynomials are solved from element-specific equations with aid of the original solution.
These extra polynomials are assumed to approximate the real error, because with the enriched basis it is usually possible to get better approximation to the problem.
Error estimators here are attained by measuring the extra polynomials by total and shear energy.
The shear energy is also divided to its x-and y-components to express direction.
With this information it may be possible to direct the element grid more optimally.

In this work the load is periodic in the direction of revolution, in which case the shell equations can be reduced to one dimension and it is quite easy to get almost exact numerical solution to the problem.
In this case the real error and error estimators can be compared to get more information about functionality of estimators.
According to the results error estimators give easily over half of the real error depending on the degree of the internal polynomials.
It is also found that for extra polynomials it is enough to have degree of3 to 4 more than used in the first solution.
Then estimators give a relatively good picture of the error to be used in an adaptive algorithm, because especially the error distribution is well approximated.
The Shear energy is usually negligible compared to the total energy of the solution.
However the shear energy has significant portion of the total error.
Results show also that shear energy estimators give even more reliable approximation of the error than total energy estimators.

Dependence of the solution on shell geometry is also studied when the shell is loaded with a point load.
Shells in focus are a cylinder and both hyperbolic and elliptic shells.
In the case of point load the behaviour of the estimator is dominated by error concentrated near the load and phenomena further related to the shell type do not have significant effect on the total error.
Abstract (fin): Tässä diplomityössä tarkastellaan ohuita kuorirakenteita koskevien yhtälöiden numeerista ratkaisemista.
Erityisesti ollaan kiinnostuneita adaptiivisesta ratkaisemisesta, joka perustuu virhettä approksimoiviin virheindikaattoreihin.
Tarkasteltavina kuorina ovat pyörähdyssymmetriset kuoret. joiden suhteellinen paksuus on noin yksi prosentti pyörähdyssäteestä.
Kuoren käyttäytymistä kuormitettuna mallinnetaan Reissner-Naghdi -yhtälöillä, joiden ratkaisua approksimoidaan elementtimenetelmällä.
Työhön liittyen on kirjoitettu elementtiratkaisija MATHEMATICA-ohjelmalla.

Virheindikaattorit ovat adaptiivisen ratkaisumenetelmän kulmakivi, sillä niiden pohjalta päätellään ratkaisun virhejakauma ja tihennetään esimerkiksi elementtiverkkoa.
Yhtälöt ratkaistaan aluksi kohtuullisen pienellä vapausasteiden määrällä ja tämän harvan ratkaisun avulla lasketaan virheindikaattorit, tarkennetaan diskretointia ja lasketaan uusi ratkaisu.
Näin tehtävän diskretointia mukautetaan mahdollisimman optimaaliseksi juuri tarkasteltavan ongelman kannalta.
Virheindikaattoreiden perustana käytetään tässä ns. lisäkuplia, eli kantafunktiosysteemiin lisätään kuplapolynomeja, joille ratkaistaan kertoimet elementtikohtaisista yhtälöistä edellisen vaiheen ratkaisun avulla.
Lisäkuplien oletetaan approksimoivan todellista virhettä. sillä lisäkuplilla rikastetulla kannalla oletetaan saatavan yhä tarkempi ratkaisu, kun kuplien astelukua kasvatetaan.
Virheindikaattoreina käytetään tässä kokonais- ja leikkausenergialla mitattuja kuplapolynomeja.
Lisäksi leikkausenergiaa tarkastellaan sen x- ja y-komponenttien avulla, mistä virheindikaattorille saadaan suuntaa ilmoittava ominaisuus.
Tämän ominaisuuden perusteella voidaan mahdollisesti päätellä, missä suunnassa elementtiverkkoa kannattaa tihentää.

Työssä on käytetty pyörähdyssuunnassa jaksollista kuormaa, jolloin yhtälöt voidaan redusoida yksiulotteisiksi ja tarkalle ratkaisulle on mahdollista laskea hyvin tarkka numeerinen edustaja.
Tällöin päästään vertaamaan todellista virhettä ja virheindikaattorin ilmoittamaa virhettä keskenään.
Tulosten perusteella eri energioilla mitattuna indikaattorin ilmoittama virhe on helposti yli puolet todellisesta virheestä riippuen kuplafunktioiden määrästä.
Osoittautuu että lisäkuplien asteluvuksi riittää noin 3-4 korkeampi kuin perusratkaisun asteluku.
Tällöin adaptiivisen ratkaisemisen kannalta saadaan riittävän hyvä kuva virheestä, sillä indikaattorit approksimoivat hyvin erityisesti virheen jakauman muotoa.
Leikkausenergian osuus on yleensä häviävän pieni ratkaisun kokonaisenergiasta.
Ratkaisun virheestä leikkausenergialla on kuitenkin merkittävä osuus.
Osoittautuu myös että leikkausenergiaan perustuvat virheindikaattorit approksimoivat virhettä jopa hieman paremmin kuin kokonaisenergiassa mitattuna.

Työssä on tarkasteltu myös ratkaisun riippuvuutta kuoren geometriasta, kun kuormana on pistekuorma.
Tarkasteltavina kuorina ovat sylinteri sekä hyperbolinen ja elliptinen kuori.
Tässä tapauksessa virheindikaattorin toimintaa dominoi kuorman lähelle keskittynyt virhe, ja kauempana kuormasta olevat geometriaan liittyvät ilmiöt eivät näytä vaikuttavan merkittävästi kokonaisvirheeseen.
ED:2004-12-01
INSSI record number: 26537
+ add basket
« previous | next »
INSSI