search query: @keyword tuplaava mitta / total: 6
results-list
reference: 6 / 6
« previous | next »
Author:Korte, Riikka
Title:Poincarén epäyhtälö metrisissä avaruuksissa
The Poincaré inequality on metric spaces
Publication type:Master's thesis
Publication year:2004
Pages:50      Language:   fin
Department/School:Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto
Main subject:Matematiikka   (Mat-1)
Supervisor:Nevanlinna, Olavi
Instructor:Kinnunen, Juha
OEVS:
Electronic archive copy is available via Aalto Thesis Database.
Instructions
close

Reading digital theses in the closed network of the Aalto University Harald Herlin Learning Centre

In the closed network of Learning Centre you can read digital and digitized theses not available in the open network.

The Learning Centre contact details and opening hours: https://learningcentre.aalto.fi/en/harald-herlin-learning-centre/

You can read theses on the Learning Centre customer computers, which are available on all floors.

Logging on to the customer computers

  • Aalto University staff members log on to the customer computer using the Aalto username and password.
  • Other customers log on using a shared username and password.

Opening a thesis

  • On the desktop of the customer computers, you will find an icon titled:

    Aalto Thesis Database

  • Click on the icon to search for and open the thesis you are looking for from Aaltodoc database. You can find the thesis file by clicking the link on the OEV or OEVS field.

Reading the thesis

  • You can either print the thesis or read it on the customer computer screen.
  • You cannot save the thesis file on a flash drive or email it.
  • You cannot copy text or images from the file.
  • You cannot edit the file.

Printing the thesis

  • You can print the thesis for your personal study or research use.
  • Aalto University students and staff members may print black-and-white prints on the PrintingPoint devices when using the computer with personal Aalto username and password. Color printing is possible using the printer u90203-psc3, which is located near the customer service. Color printing is subject to a charge to Aalto University students and staff members.
  • Other customers can use the printer u90203-psc3. All printing is subject to a charge to non-University members.
Location:P1 Ark TF80     | Archive
Keywords:Poincaré inequality
metric space
doubling measure
Sobolev inequality
Lipschitz function
Poincarén epäyhtälö
metrinen avaruus
tuplaava mitta
Sobolevin epäyhtälö
Lipchitz-funktio
Abstract (eng): In this thesis we consider the Poincare inequality and especially its self-improvement properties on metric measure spaces.
We concentrate on a recent result by Stephen Keith and Xiao Zhong [KZ], which tells us that if a complete doubling metric measure space admits a (l,p)-Poincare inequality, then it also admits (1, q)-Poincare inequality for some q < p.

We start by introducing metric measure spaces and results that are necessary in their analysis.
We discuss for example covering theorems, Hardy-Littlewood maximal functions and inequalities.
A fractional sharp maximal function gives us a useful point wise estimate for functions.

In the second part of the thesis we concentrate on the Poincare inequality.
We start by presenting different definitions, which turn out to be equivalent in quite a general situation.
Next we prove that the Poincare inequality implies quasiconvexity.
We modify the same approach as Jeff Cheeger and Stephen Semmes used in proving a similar result for another version of the Poincare inequality.
Finally we prove that the Poincare inequality implies Sobolev inequality and present some sufficient conditions for a space to admit the Poincare inequality.

Finally, we discuss the result by Keith and Zhong.
For that we need Lipschitz extensions and especially a Lipschitz smoothing that is based on a Whitney-type covering.
The proof is indirect and we analysed the necessary assumptions.
We conclude by presenting a couple of examples which will demonstrate some situations in which the Poincare inequality doesn't have the self-improvement property.
Abstract (fin): Tässä diplomityössä tutkitaan Poincaren epäyhtälöä ja etenkin sen itseparantuvuusominaisuuksia metrisissä mitta-avaruuksissa.
Keskeisenä tarkastelun kohteena on Stephen Keithin ja Xiao Zhongin [KZ] tuore tulos.
Sen mukaan tuplaava metrinen mitta-avaruus kantaa (1, q)-Poincaren epäyhtälön jollain q < p, jos se kantaa (1,p)-Poincaren epäyhtälön.

Tämä työ jakautuu kolmeen osaan.
Ensimmäisessä osassa tarkastellaan yleisesti metrisiä mitta-avaruuksia ja niiden analyysissa tarvittavia työkaluja kuten peitelauseita, Hardy-Littlewoodin maksimaalifunktioita ja niihin liittyviä epäyhtälöitä sekä M#-maksimaalifunktiota ja sen avulla saatavia pisteittäisiä arvioita funktion käytökselle.

Toisessa osassa keskitytään Poincaren epäyhtälöön.
Tarkastelu aloitetaan erityyppisistä Poincaren epäyhtälön määritelmistä, jotka osoittautuvat yhtäpitäviksi varsin yleisessä tilanteessa.
Seuraavaksi osoitetaan, että Poincaren epäyhtälön kantava avaruus on kvasikonveksi.
Tämä tehdään muokkaamalla menetelmää, jolla Jeff Cheeger ja Stephen Semmes todistivat aiemmin vastaavan tuloksen.
Lopuksi tarkastellaan Poincaren epäyhtälöstä seuraavaa Sobolevin epäyhtälöä sekä eräitä riittäviä ehtoja Poincaren epäyhtälön toteutumiselle.

Viimeisessä osassa tarkastellaan Keithin ja Zhongin itseparantuvuustulosta.
Alussa käsitellään Lipschitz-jatkoja ja erityisesti Whitney-tyyppiseen peitteeseen perustuvaa jatkoa.
Varsinainen todistus on epäsuora ja tässä työssä on analysoitu sen toimiakseen vaatimia oletuksia.
Lopussa esitetään pari esimerkkiä tapauksista, joissa Poincaren epäyhtälöllä ei ole itseparantuvuusominaisuutta.
ED:2004-11-26
INSSI record number: 26523
+ add basket
« previous | next »
INSSI