search query: @keyword wavelet / total: 9
results-list
reference: 9 / 9
« previous | next »
Author:Parviainen, Mikko
Title:Wavelet methods for conservation laws
Wavelet-menetelmiä säilymislakidifferentiaaliyhtälöille
Publication type:Master's thesis
Publication year:2003
Pages:76      Language:   eng
Department/School:Teknillisen fysiikan ja matematiikan osasto
Main subject:Matematiikka   (Mat-1)
Supervisor:Gripenberg, Gustaf
Instructor:
OEVS:
Electronic archive copy is available via Aalto Thesis Database.
Instructions
close

Reading digital theses in the closed network of the Aalto University Harald Herlin Learning Centre

In the closed network of Learning Centre you can read digital and digitized theses not available in the open network.

The Learning Centre contact details and opening hours: https://learningcentre.aalto.fi/en/harald-herlin-learning-centre/

You can read theses on the Learning Centre customer computers, which are available on all floors.

Logging on to the customer computers

  • Aalto University staff members log on to the customer computer using the Aalto username and password.
  • Other customers log on using a shared username and password.

Opening a thesis

  • On the desktop of the customer computers, you will find an icon titled:

    Aalto Thesis Database

  • Click on the icon to search for and open the thesis you are looking for from Aaltodoc database. You can find the thesis file by clicking the link on the OEV or OEVS field.

Reading the thesis

  • You can either print the thesis or read it on the customer computer screen.
  • You cannot save the thesis file on a flash drive or email it.
  • You cannot copy text or images from the file.
  • You cannot edit the file.

Printing the thesis

  • You can print the thesis for your personal study or research use.
  • Aalto University students and staff members may print black-and-white prints on the PrintingPoint devices when using the computer with personal Aalto username and password. Color printing is possible using the printer u90203-psc3, which is located near the customer service. Color printing is subject to a charge to Aalto University students and staff members.
  • Other customers can use the printer u90203-psc3. All printing is subject to a charge to non-University members.
Location:P1 Ark TF80     | Archive
Keywords:nonlinear hyperbolic problems
conservation laws
entropy
convergence
discontinuous Galerkin methods
Godunov's scheme
wavelets
multiwavelets
damping oscillations
Burgers' equation
epälineaarinen hyperbolinen yhtälö
säilymislait
entropia
suppeneminen
epäjatkuva Galerkin menetelmä
Godunovin menetelmä
wavelet
multiwavelet
heilahtelujen vaimentaminen
Burgersin yhtälö
Abstract (eng): In this thesis hyperbolic partial differential equations arising from conservation laws are studied both numerically and analytically.
The differential equations are of the form u(x, t)t + f(u{x, t))x = 0, where u is a function to be solved and f is a smooth possibly nonlinear function.
For example, solving a gas flow when mass is conserved leads to the partial differential equations of this type.

Due to nonlinearity the conservation law may not have a classical solution, and therefore weak solutions are formulated.
To guarantee the uniqueness of the weak solutions additional entropy conditions, like Kruzkov's entropy condition, are needed.
We prove the uniqueness of the solution satisfying Kruzkov's entropy condition and formulate the existence result.
The formulation of the uniqueness result differs from the usual formulation given in the literature.
In the numerical part, we study the discontinuous Galerkin methods, like for example Godunov's scheme, which is the simplest of such methods.
To guarantee the convergence of the numerical method to the right solution, some extra conditions must be required.
The Lax-Wendroff theorem, which states when the obtained numerical solution is the right one, is proved with more general conditions than in [26].
Also stability results are considered.

Wavelets and scaling functions obtained from the orthonormal multiresolution can be applied to the discontinuous Galerkin method.
Then the numerical solution can be efficiently divided into high and low frequency parts.
By controlling the high frequency part, we can develop adaptive methods and aim the computational power to the right places.
In addition, pyramid algorithms can be used to obtain different refinement levels of the numerical solution efficiently.

Especially multiwavelets seem to be attractive for the numerical solvers due to their simplicity.
At the end of the thesis, we suggest a high order generalization for the known low order adaptive wavelet method.
Also a new possibility for damping spurious oscillations in high order solutions is suggested.
Numerical experiments are performed for the introduced methods in the case of Burgers' equation ut + uux = 0.

The reader is expected to have basic knowledge of real analysis and of the theory of partial differential equations.
The presentation is mainly self-contained.
Abstract (fin): Työssä tarkastellaan sekä analyyttisesti että numeerisesti hyperbolisia epälineaarisia osittaisdifferentiaaliyhtälöitä, jotka ovat muotoa u(x, t)t + f(u(x, t))x = 0, missä u on ratkaistava funktio ja f jokin sileä sekä mahdollisesti epälineaarinen funktio.
Kyseisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin päädytään, kun tarkastellaan tilannetta, jossa vaikuttaa jokin säilymislaki.
Esimerkiksi kaasuvirtauksen ratkaiseminen massan säilymislakia soveltaen johtaa kyseisen tyyppisiin yhtälöihin.
Epälineaarisuudesta johtuen differentiaaliyhtälöllä ei välttämättä ole klassisia ratkaisuja, ja ratkaisut tulkitaankin heikossa mielessä.
Heikko ratkaisu ei kuitenkaan usein ole yksikäsitteinen, joten yksikäsitteisyyden takaamiseksi joudutaan asettamaan entropiaehtoja.
Usein käytetään Kruzkovin entropiaehtoa, jolle todistetaan ratkaisun yksikäsitteisyys ja todetaan olemassaolo.
Tulokset ovat tunnettuja, mutta yksikäsitteisyyslauseen muotoilua ja alkuoletuksia on muutettu tavanomaisesta.

Numeerisista menetelmistä käsitellään epäjatkuvia Galerkin menetelmiä, joista yksinkertaisimpana voidaan pitää Godunovin menetelmää.
Jotta numeerinen menetelmä suppenisi oikeaan heikkoon ratkaisuun, joudutaan menetelmälle asettamaan ylimääräisiä ehtoja.
Laxin ja Wendroffin lause, jossa todetaan ehdot, joilla saavutettu numeerinen ratkaisu on oikea, todistetaan hieman lähdettä [26] yleisemmillä oletuksilla.
Myös stabiilisuustuloksia käsitellään.
Epäjatkuvassa Galerkin menetelmässä voidaan käyttää kantafunktioina ortonormaalista multiresoluutiosta saatavia wavelet- ja skaalausfunktioita.
Tästä on se hyöty, että ratkaisu voidaan jakaa tehokkaasti korkea- ja matalataajuisiin komponentteihin, joita tutkimalla laskentateho voidaan kohdistaa oikeaan paikkaan ja suunnitella adaptiivisia menetelmiä.
Lisaksi waveleteille on olemassa pyramidialgoritmeja, joita käyttäen eri tarkkuustason ratkaisut voidaan laskea tehokkaasti.

Erityisen hyödyllisiltä vaikuttavat multiwaveletit, joiden vahvuus on niiden yksinkertaisuudessa.
Työssä esitetään yleistys aikaisemmin julkaistusta matala-asteisia waveleteja soveltavasta adaptiivisesta menetelmästä korkeamman kertaluvun waveletien tapaukseen.
Lopuksi ehdotetaan uutta tapaa, jolla korkea-asteisiin menetelmiin syntyviä heilahteluja pystytään mahdollisesti vaimentamaan.
Käsitellyistä menetelmistä esitetään numeerisia esimerkkejä Burgersin yhtälön ut + uux = 0 tapauksessa.

Lukijalta edellytetään reaalianalyysin ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teorian peruskäsitteiden tuntemista.
Esityksen seuraaminen ei välttämättä vaadi muiden lähteiden käyttöä.
ED:2004-01-14
INSSI record number: 21096
+ add basket
« previous | next »
INSSI